ZANIMLJIVOSTI

Savršeni brojevi - Da li znate njihovu tajnu ?

Savršen broj je prirodan broj koji je jednak zbiru svojih pozitivnih delilaca, uključujući i broj 1, ali ne računajući sam taj broj. Prva četiri savršena broja poznata su od davnina, proučavali su ih pitagorejci još u VI veku p.n.e., a najraniji matematički zapis o savršenim brojevima pojavio se u Euklidovom delu Elementi, oko 300. p.n.e. Prva četiri savršena broja su:

1) 6 = 1 + 2 + 3

2) 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

3) 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

4) 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Peti savršen broj, koji je otkriven 1456. godine, jeste 33 550 336. Do sada je otkriveno samo 49 savršenih brojeva, a poslednji od njih, koji je pronađen 7. januara 2016. godine, u svom zapisu ima 44 677 235 cifara. Još nije poznato koliko ima savršenih brojeva – do sada nije utvrđeno da li ih ima beskonačno mnogo ili, pak, samo konačan broj.

Euklid je u svojoj knjizi pokazao da su do tada otkriveni savršeni brojevi oblika:

2p−1 ∙ (2p − 1)

Pri tome, 2p − 1 mora biti prost broj, a da bi to bio slučaj p mora biti prost broj. Na primer, prvih pet savršenih brojeva se prema ovoj formuli dobijaju na sledeći način:

1) za p = 2:

22−1 ∙ (22 − 1) = 2 ∙ 3 = 6

2) za p = 3:

23−1 ∙ (23 − 1) = 4 ∙ 7 = 28

3) za p = 5:

25−1 ∙ (25 − 1) = 16 ∙ 31 = 496

4) za p = 7:

27−1 ∙ (27 − 1) = 64 ∙ 127 = 8128

5) za p = 13:

213−1 ∙ (213 − 1) = 4096 ∙ 8191 = 33550336

Prosti brojevi oblika 2p − 1 nazivaju se Mersenovi prosti brojevi, po francuskom teologu i matematičaru Marinu Mersenu (1588–1648), koji je proučavao teoriju brojeva i savršene brojeve. Da bi broj oblika 2p − 1 bio prost, p mora biti prost broj. Međutim, nisu svi brojevi ovog oblika prosti ako je p prost broj. Na primer, za p = 11 dobija se 211 − 1 = 2047. Kako je 23 ∙ 89 = 2047, to znači da ovaj broj nije prost. U stvari, Marsenovi prosti brojevi su veoma retki – od 9592 prosta broja p manja od 100 000, 2p – 1 je prost broj za samo 28 njih.

Može se reći da ima onoliko parnih savršenih brojeva koliko ima Mersenovih prostih brojeva. Međutim, nije poznato da li Mersenovih prostih brojeva ima konačno ili beskonačno mnogo. Pretpostavlja se da ovih brojeva ima beskonačno mnogo, a ako je to tačno, onda i parnih savršenih brojeva ima beskonačno mnogo. Trenutno je poznato onoliko savršenih brojeva koliko i Mersenovih prostih brojeva – 49.

Kad je reč o formuli koju je dao Euklid, treba pomenuti da je mnogo godina kasnije, tek u XVIII veku, švajcarski matematičar Leonard Ojler dokazao da su svi parni savršeni brojevi baš tog oblika. Svi do sada otkriveni savršeni brojevi su upravo parni, a nije poznato da li postoji ijedan neparan savršen broj. Do danas su, pomoću naprednih kompjuterskih sistema, ispitani svi brojevi do 101500, ali nije pronađen nijedan neparan savršen broj. Pretpostavlja se da takvih brojeva nema, mada to još niko nije uspeo da dokaže.

Osobine savršenih brojeva

Pored toga što predstavljaju zbir svojih pravih delilaca, savršeni brojevi poseduju i neke druge zanimljive osobine.

1. Svi savršeni brojevi predstavljaju zbir više uzastopnih prirodnih brojeva, počevši od broja 1 do2p − 1, na primer:

1) 6 = 1 + 2 + 3

2) 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

3) 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +…+ 31

4) 8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +…+ 127

5) 33550336 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +…+ 8191

2. Zbir recipročnih vrednosti svih delilaca savršenog broja, uključujući i sam taj broj, jednak je broju 2, na primer:

1) za broj 6: 1∕6 + 1∕3 + 1∕2 + 1∕1 = 2

2) za broj 28: 1∕28 + 1∕14 + 1∕7 + 1∕4 + 1∕2 + 1∕1 = 2

3) za broj 496: 1∕496 + 1∕248 + 1∕124 + 1∕62 + 1∕31 + 1∕16 + 1∕8 + 1∕4 + 1∕2 + 1∕1 = 2

4) za broj 8128: 1∕8128 + 1∕4064 + 1∕2032 + 1∕1016 + 1∕508 + 1∕254 + 1∕127 + 1∕64 + 1∕32 + 1∕16 + 1∕8 + 1∕4 + 1∕2 + 1∕1 = 2

3. Osim broja 6, svi savršeni brojevi imaju i osobinu da se mogu prikazati kao zbir prvih 2(p−1)∕2kubova neparnih brojeva, na primer:

1) 28 = 13 + 33

2) 496 = 13 + 33 + 53 + 73

3) 8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153

4) 33550336 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153 +…+ 1273

4. Svi poznati savršeni brojevi završavaju se sa 6 ili 28.

5. Takođe, zanimljiv je i binarni zapis savršenih brojeva. Naime, svaki od njih u binarnom zapisu, shodno svom zapisu u obliku 2p−1 ∙ (2p − 1), ima p jedinica i p − 1 nula, na primer:

1) 610 = 1102,

2) 2810 = 111002,

3) 49610 = 1111100002,

4) 812810 = 11111110000002,

5) 3355033610 = 11111111111110000000000002.

Podeli vest sa prijateljima:

Dodaj komentar

Pre slanja komentara molimo Vas da pročitate sledeća pravila: Komentari koji sadrže psovke, uvredljive, vulgarne, preteće, rasističke ili šovinističke poruke neće biti objavljeni. Molimo čitaoce da se prilikom pisanja komentara pridržavaju pravopisnih pravila. Redakcija expres vesti ima pravo da ne odobri komentare koji su uvredljivi, koji pozivaju na rasnu i etničku mržnju i ne doprinose normalnoj komunikaciji između čitalaca ovog portala. Mišljenja iznešena u komentarima su privatno mišljenje autora komentara i ne odražavaju stavove redakcije expres vesti.

 

PRATITE NAS

KONTAKT

+ 381 65 43 43 646

info@expres.rs

Marketing

ANKETA

Da li će Nikolić i u drugom mandatu biti predsednik Srbije ?

TRENUTNA TEMPERATURA

 
DMC Firewall is developed by Dean Marshall Consultancy Ltd