Savršeni brojevi - Da li znate njihovu tajnu ?

Izvor opsteobrazovanje maj 30, 2016
Savršeni brojevi - Da li znate njihovu tajnu ? Foto:Pixabay

Savršen broj je prirodan broj koji je jednak zbiru svojih pozitivnih delilaca, uključujući i broj 1, ali ne računajući sam taj broj. Prva četiri savršena broja poznata su od davnina, proučavali su ih pitagorejci još u VI veku p.n.e., a najraniji matematički zapis o savršenim brojevima pojavio se u Euklidovom delu Elementi, oko 300. p.n.e. Prva četiri savršena broja su:

1) 6 = 1 + 2 + 3

2) 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

3) 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

4) 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Peti savršen broj, koji je otkriven 1456. godine, jeste 33 550 336. Do sada je otkriveno samo 49 savršenih brojeva, a poslednji od njih, koji je pronađen 7. januara 2016. godine, u svom zapisu ima 44 677 235 cifara. Još nije poznato koliko ima savršenih brojeva – do sada nije utvrđeno da li ih ima beskonačno mnogo ili, pak, samo konačan broj.

Euklid je u svojoj knjizi pokazao da su do tada otkriveni savršeni brojevi oblika:

2p−1 ∙ (2p − 1)

Pri tome, 2p − 1 mora biti prost broj, a da bi to bio slučaj p mora biti prost broj. Na primer, prvih pet savršenih brojeva se prema ovoj formuli dobijaju na sledeći način:

1) za p = 2:

22−1 ∙ (22 − 1) = 2 ∙ 3 = 6

2) za p = 3:

23−1 ∙ (23 − 1) = 4 ∙ 7 = 28

3) za p = 5:

25−1 ∙ (25 − 1) = 16 ∙ 31 = 496

4) za p = 7:

27−1 ∙ (27 − 1) = 64 ∙ 127 = 8128

5) za p = 13:

213−1 ∙ (213 − 1) = 4096 ∙ 8191 = 33550336

Prosti brojevi oblika 2p − 1 nazivaju se Mersenovi prosti brojevi, po francuskom teologu i matematičaru Marinu Mersenu (1588–1648), koji je proučavao teoriju brojeva i savršene brojeve. Da bi broj oblika 2p − 1 bio prost, p mora biti prost broj. Međutim, nisu svi brojevi ovog oblika prosti ako je p prost broj. Na primer, za p = 11 dobija se 211 − 1 = 2047. Kako je 23 ∙ 89 = 2047, to znači da ovaj broj nije prost. U stvari, Marsenovi prosti brojevi su veoma retki – od 9592 prosta broja p manja od 100 000, 2p – 1 je prost broj za samo 28 njih.

Može se reći da ima onoliko parnih savršenih brojeva koliko ima Mersenovih prostih brojeva. Međutim, nije poznato da li Mersenovih prostih brojeva ima konačno ili beskonačno mnogo. Pretpostavlja se da ovih brojeva ima beskonačno mnogo, a ako je to tačno, onda i parnih savršenih brojeva ima beskonačno mnogo. Trenutno je poznato onoliko savršenih brojeva koliko i Mersenovih prostih brojeva – 49.

Kad je reč o formuli koju je dao Euklid, treba pomenuti da je mnogo godina kasnije, tek u XVIII veku, švajcarski matematičar Leonard Ojler dokazao da su svi parni savršeni brojevi baš tog oblika. Svi do sada otkriveni savršeni brojevi su upravo parni, a nije poznato da li postoji ijedan neparan savršen broj. Do danas su, pomoću naprednih kompjuterskih sistema, ispitani svi brojevi do 101500, ali nije pronađen nijedan neparan savršen broj. Pretpostavlja se da takvih brojeva nema, mada to još niko nije uspeo da dokaže.

Osobine savršenih brojeva

Pored toga što predstavljaju zbir svojih pravih delilaca, savršeni brojevi poseduju i neke druge zanimljive osobine.

1. Svi savršeni brojevi predstavljaju zbir više uzastopnih prirodnih brojeva, počevši od broja 1 do2p − 1, na primer:

1) 6 = 1 + 2 + 3

2) 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

3) 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +…+ 31

4) 8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +…+ 127

5) 33550336 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +…+ 8191

2. Zbir recipročnih vrednosti svih delilaca savršenog broja, uključujući i sam taj broj, jednak je broju 2, na primer:

1) za broj 6: 1∕6 + 1∕3 + 1∕2 + 1∕1 = 2

2) za broj 28: 1∕28 + 1∕14 + 1∕7 + 1∕4 + 1∕2 + 1∕1 = 2

3) za broj 496: 1∕496 + 1∕248 + 1∕124 + 1∕62 + 1∕31 + 1∕16 + 1∕8 + 1∕4 + 1∕2 + 1∕1 = 2

4) za broj 8128: 1∕8128 + 1∕4064 + 1∕2032 + 1∕1016 + 1∕508 + 1∕254 + 1∕127 + 1∕64 + 1∕32 + 1∕16 + 1∕8 + 1∕4 + 1∕2 + 1∕1 = 2

3. Osim broja 6, svi savršeni brojevi imaju i osobinu da se mogu prikazati kao zbir prvih 2(p−1)∕2kubova neparnih brojeva, na primer:

1) 28 = 13 + 33

2) 496 = 13 + 33 + 53 + 73

3) 8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153

4) 33550336 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153 +…+ 1273

4. Svi poznati savršeni brojevi završavaju se sa 6 ili 28.

5. Takođe, zanimljiv je i binarni zapis savršenih brojeva. Naime, svaki od njih u binarnom zapisu, shodno svom zapisu u obliku 2p−1 ∙ (2p − 1), ima p jedinica i p − 1 nula, na primer:

1) 610 = 1102,

2) 2810 = 111002,

3) 49610 = 1111100002,

4) 812810 = 11111110000002,

5) 3355033610 = 11111111111110000000000002.

Dodaj komentar

Pre slanja komentara molimo Vas da pročitate sledeća pravila: Komentari koji sadrže psovke, uvredljive, vulgarne, preteće, rasističke ili šovinističke poruke neće biti objavljeni. Molimo čitaoce da se prilikom pisanja komentara pridržavaju pravopisnih pravila. Redakcija expres vesti ima pravo da ne odobri komentare koji su uvredljivi, koji pozivaju na rasnu i etničku mržnju i ne doprinose normalnoj komunikaciji između čitalaca ovog portala. Mišljenja iznešena u komentarima su privatno mišljenje autora komentara i ne odražavaju stavove redakcije expres vesti.

Kada ste u paru, pred prijateljima izbegavajte tri stvari

Kada su dvoje ljudi zaljubljeni, ostatak sveta gotovo da ne postoji. Takvo ponašanje…

Ovako izgleda pad aviona iznutra | VIDEO

Više od 40 odsto putnika boji se mogućnosti pada aviona, ali statistika pokazuje kako su…

Pogledajte kako se rak širi po ljudskom telu | VIDEO

Rak je jedna od najtežih bolesti današnjice. Medicina, iako je napredovala još uvek nije…

Skype je nakon 15 godina konačno dobio jednu korisnu funkciju

Duže od decenije Skype nije posedovao opciju snimanja poziva, ali je kompanija Microsoft…

Slučaj Šanti Devi jedan je od najpoznatijih slučajeva reinkarnacije u istoriji

Rođena je 1926. godine u Delhiju , glavnom gradu Indije. Sve do četvrte godine nije…

VIDEO: Pijanista svirao slepoj slonici

Britanski pijanista Pol Barton izvodio je muzičku numeru za slepu slonicu koja nije mogla…

Manekenka na pisti dojila bebu i oduševila publiku | VIDEO

Manekenka Mara Martin izazvala je priličnu pometnju kad se na reviji pojavila noseći u…

Vođenje ljubavi sa ženom mog prijatelja je fantastično, ne mogu da stanem

Jedan muškarac suočio se za zamkom- upao je u ljubavni odnos sa ženom svog prijatelja i…

5 sigurnih znakova da ste FENOMENALNI u krevetu

Svi mi imamo svoj ukus i o ukusima se ne raspravlja. Dok nama jedna osoba može apsolutno…

Ovo je najsigurnija zemlja za putovanja u 2018. godini

Nedavno sprovedeno američko istraživanje pokazuje koja zemlja je najsigurnija za…

YouTube uvodi novi alat koji sprečava krađu video materijala

YouTube je pripremio novi alat za kreatore video snimaka koji će od sada moći da vide da…

Grašak za dobru liniju

Ukusna mahunarka koja ubrzava metabolizam, grašak osigurava stalni priliv energije i…

Otac je shvatio da će biti ubijen, smireno se okrenuo ženi i predao joj ćerkicu | VIDEO

Na zastrašujućem snimku, koji je zabeleželila nadzorna kamera u državi Pernambuko u…

"Migrenozna poza": Novi trend fotografisanja devojaka

Australijski modeli sve više koriste "migrenoznu pozu" na svojim fotografijama koje…

BRAK NAKON SEKSA ZA JEDNU NOĆ? Evo da li takvi parovi opstaju!

Prema najnovijim rezultatima istraživanja u kom je učestvovalo preko hiljadu ljudi…

Žene traže obrazovanog partnera

Dame do 30. godine života traže partnere istog ili višeg nivoa obrazovanja. Muškarci su…

Pogledajte kako peščana oluja "guta" jedan američki grad | VIDEO

Delove Arizone zahvatilo je monsunsko vreme propraćeno peščanom olujom. Glavni grad…

“Gde si ku..o”: Uhvatio ženu sa švalerom i sve snimio | VIDEO

Neimenovani čovek iz Bitolja, na jugu Makedonije, mesec dana je pratio svoju suprugu,…

LJUTA PAPRIČICA ČUVA VAŠE ZDRAVLJE: Leči čak 10 bolesti

Čili, kajenski biber i feferoni su ljute papričice iz porodice Capsicum. Popularne su…

Žene koje imaju NEZABORAVAN SEKS uvek rade ove stvari

Postoje žene koje su pune seksualnog samopouzdanja i koje, kada je to u pitanju, ništa ne…

Nova opcija protiv lažnih vesti na WhatsApp-u

WhatsApp je u borbi protiv lažnih informacija dodao funkciju zahvaljujući kojoj možete da…

Recept za džem od malina koji se ne kuva - zdravo i ukusno

Potreban vam je blender, mala tegla, četiri namirnice i samo pet minuta. Džem treba malo…

Pornhabu drastično opao broj pregleda tokom Svetskog prvenstva

Pornhab je ponovo odlučio da podeli neke informacije o svojim korisnicima, a ovaj put se…

Strategija manipulacije ljudima u 10 tačaka!

Na osnovu rada jednog od najuticajnijih svetskih intelektualaca, američkog lingviste…

Evo par saveta kako da napalite muškarca bez dodira

Možda ipak postoji neko nepisano pravilo kako napaliti dečka. Pokrenite ga mentalno i…

Kopriva čuva kosu

Kosa je simbol ženstvenosti i lepote širom sveta, ali na žalost, usled učestalog…

Ovako izgleda plaža gde je ležaljka 500 evra | VIDEO

U najpoznatijem baru Namos, koji se nalazi na plaži Psarou na ostrvu Mikonos, ležaljka…

Sok od višanja melem protiv nesanice

Istraživanja pokazuju da su višnje melem protiv nesanice. Samo dve čaše soka od ovog…
© 2015 Agencija Expres Media. All Rights Reserved
DMC Firewall is a Joomla Security extension!