Wednesday, January 17, 2018

Savršen broj je prirodan broj koji je jednak zbiru svojih pozitivnih delilaca, uključujući i broj 1, ali ne računajući sam taj broj. Prva četiri savršena broja poznata su od davnina, proučavali su ih pitagorejci još u VI veku p.n.e., a najraniji matematički zapis o savršenim brojevima pojavio se u Euklidovom delu Elementi, oko 300. p.n.e. Prva četiri savršena broja su:

1) 6 = 1 + 2 + 3

2) 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

3) 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

4) 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Peti savršen broj, koji je otkriven 1456. godine, jeste 33 550 336. Do sada je otkriveno samo 49 savršenih brojeva, a poslednji od njih, koji je pronađen 7. januara 2016. godine, u svom zapisu ima 44 677 235 cifara. Još nije poznato koliko ima savršenih brojeva – do sada nije utvrđeno da li ih ima beskonačno mnogo ili, pak, samo konačan broj.

Euklid je u svojoj knjizi pokazao da su do tada otkriveni savršeni brojevi oblika:

2p−1 ∙ (2p − 1)

Pri tome, 2p − 1 mora biti prost broj, a da bi to bio slučaj p mora biti prost broj. Na primer, prvih pet savršenih brojeva se prema ovoj formuli dobijaju na sledeći način:

1) za p = 2:

22−1 ∙ (22 − 1) = 2 ∙ 3 = 6

2) za p = 3:

23−1 ∙ (23 − 1) = 4 ∙ 7 = 28

3) za p = 5:

25−1 ∙ (25 − 1) = 16 ∙ 31 = 496

4) za p = 7:

27−1 ∙ (27 − 1) = 64 ∙ 127 = 8128

5) za p = 13:

213−1 ∙ (213 − 1) = 4096 ∙ 8191 = 33550336

Prosti brojevi oblika 2p − 1 nazivaju se Mersenovi prosti brojevi, po francuskom teologu i matematičaru Marinu Mersenu (1588–1648), koji je proučavao teoriju brojeva i savršene brojeve. Da bi broj oblika 2p − 1 bio prost, p mora biti prost broj. Međutim, nisu svi brojevi ovog oblika prosti ako je p prost broj. Na primer, za p = 11 dobija se 211 − 1 = 2047. Kako je 23 ∙ 89 = 2047, to znači da ovaj broj nije prost. U stvari, Marsenovi prosti brojevi su veoma retki – od 9592 prosta broja p manja od 100 000, 2p – 1 je prost broj za samo 28 njih.

Može se reći da ima onoliko parnih savršenih brojeva koliko ima Mersenovih prostih brojeva. Međutim, nije poznato da li Mersenovih prostih brojeva ima konačno ili beskonačno mnogo. Pretpostavlja se da ovih brojeva ima beskonačno mnogo, a ako je to tačno, onda i parnih savršenih brojeva ima beskonačno mnogo. Trenutno je poznato onoliko savršenih brojeva koliko i Mersenovih prostih brojeva – 49.

Kad je reč o formuli koju je dao Euklid, treba pomenuti da je mnogo godina kasnije, tek u XVIII veku, švajcarski matematičar Leonard Ojler dokazao da su svi parni savršeni brojevi baš tog oblika. Svi do sada otkriveni savršeni brojevi su upravo parni, a nije poznato da li postoji ijedan neparan savršen broj. Do danas su, pomoću naprednih kompjuterskih sistema, ispitani svi brojevi do 101500, ali nije pronađen nijedan neparan savršen broj. Pretpostavlja se da takvih brojeva nema, mada to još niko nije uspeo da dokaže.

Osobine savršenih brojeva

Pored toga što predstavljaju zbir svojih pravih delilaca, savršeni brojevi poseduju i neke druge zanimljive osobine.

1. Svi savršeni brojevi predstavljaju zbir više uzastopnih prirodnih brojeva, počevši od broja 1 do2p − 1, na primer:

1) 6 = 1 + 2 + 3

2) 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

3) 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +…+ 31

4) 8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +…+ 127

5) 33550336 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +…+ 8191

2. Zbir recipročnih vrednosti svih delilaca savršenog broja, uključujući i sam taj broj, jednak je broju 2, na primer:

1) za broj 6: 1∕6 + 1∕3 + 1∕2 + 1∕1 = 2

2) za broj 28: 1∕28 + 1∕14 + 1∕7 + 1∕4 + 1∕2 + 1∕1 = 2

3) za broj 496: 1∕496 + 1∕248 + 1∕124 + 1∕62 + 1∕31 + 1∕16 + 1∕8 + 1∕4 + 1∕2 + 1∕1 = 2

4) za broj 8128: 1∕8128 + 1∕4064 + 1∕2032 + 1∕1016 + 1∕508 + 1∕254 + 1∕127 + 1∕64 + 1∕32 + 1∕16 + 1∕8 + 1∕4 + 1∕2 + 1∕1 = 2

3. Osim broja 6, svi savršeni brojevi imaju i osobinu da se mogu prikazati kao zbir prvih 2(p−1)∕2kubova neparnih brojeva, na primer:

1) 28 = 13 + 33

2) 496 = 13 + 33 + 53 + 73

3) 8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153

4) 33550336 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153 +…+ 1273

4. Svi poznati savršeni brojevi završavaju se sa 6 ili 28.

5. Takođe, zanimljiv je i binarni zapis savršenih brojeva. Naime, svaki od njih u binarnom zapisu, shodno svom zapisu u obliku 2p−1 ∙ (2p − 1), ima p jedinica i p − 1 nula, na primer:

1) 610 = 1102,

2) 2810 = 111002,

3) 49610 = 1111100002,

4) 812810 = 11111110000002,

5) 3355033610 = 11111111111110000000000002.

Dodaj komentar

Pre slanja komentara molimo Vas da pročitate sledeća pravila: Komentari koji sadrže psovke, uvredljive, vulgarne, preteće, rasističke ili šovinističke poruke neće biti objavljeni. Molimo čitaoce da se prilikom pisanja komentara pridržavaju pravopisnih pravila. Redakcija expres vesti ima pravo da ne odobri komentare koji su uvredljivi, koji pozivaju na rasnu i etničku mržnju i ne doprinose normalnoj komunikaciji između čitalaca ovog portala. Mišljenja iznešena u komentarima su privatno mišljenje autora komentara i ne odražavaju stavove redakcije expres vesti.

 

MOŽDA VAM JE INTERESANTNO

 
loading...

Da li znate koje je najhladnije naseljeno mesto na svetu ?

Malo selo u sibirskoj tundri Ojmjakon, s prosečnim zimskim temperaturama oko minus 50 stepeni Celzijusovih, zvanično je…

Naučnici na pragu otkrića "vanzemaljskog" u Velikoj piramidi?

Profesor Đulio Malji iz Politehničke akademije u Milanu veruje da se tron faraona Keopsa, izrađen od vanzemaljskog…

Predsednik države zabranio crne automobile

Režim predsednika Turkmenistana Gurbangulija Berdimuhamedova poznat je kao izuzetno autoritaran, ali čak i on zna da…

Misteroizna reka koja ubija sve što se nađe u njoj | VIDEO

Kada je Andres Ruzo odrastao u Limi, u Peruu, njegov deda mu je ispričao priču o drevnom izgubljenom gradu od zlata u…

OBRATITE PAŽNJU 4 simptoma tumora na mozgu

Tumori na mozgu javljaju se u različitim oblicima i veličinama, pa se tako razlikuju i njihovi simptomi. Važno ih je…

Ljudi koji kasne žive duže!

Kad su ih naučnici testirali zaključili su da "njihov minut" traje 77 sekundi, a drugima 58 sekundi Stres je jedan od…

NESTALA 1975. GODINE : Pronađena bez ikakvog objašnjenja gde je bila

Žena koja je nestala iz okoline Njujorka pre pune 42 godine pronađena je u saveznoj državi Masačusetsu u ustanovi za…

Porno filmove je počela da gleda sa 12 godina.

Porno filmove je počela da gleda sa 12 godina. Erika Garza (35) u svojoj je knjizi pod nazivom “Getting Off”…

"Njujork post" preneo priču žene koja je isprobala orgije.

Njena priča počinje ovako: "Prelepa brineta me lagano skida. Ne mogu da se setim kako se zove, ali lice joj je negde…

Od prodavačice hleba do top modela

Olajumoke Orisaguna, dvadesetsedmogodišnja mlada žena iz Nigerije, od prodavačice hleba na ulicama grada Lagosa postala…

4 boje kose koje vam preporučujemo da isprobate u 2018.

Zimi se obično žene farbaju u toplije tonove, tako da ni sada nismo preskočili takve nijanse. Trenutno je baš popularna…

Ovo su namirnice za bolji seks

Kroz ljudsku istoriju uvek se tragalo za afrodizijacima koji utiču na seksualnu moć. Proučavajući hranu koju jedemo,…

Preminula još jedna lepotica: "Želela sam da me prihvate pa sam se skidala pred kamerom"

Samo nekoliko dana posle Božića koji je provela sama, preminula je dvadesetogodišnja Olivija Nova, manekenka i glumica…

NE PRIVLAČI VAS FIZIČKI IZGLED, VEĆ INTELIGENCIJA? Evo šta to govori o vama!

Već duže vreme se kroz pop kulturu i medije provlači reč - sapioseksualac, pojam koji opisuje ljude koje ne privlače…

Čokoladne banane: Slatkiš koji ne šteti vašoj liniji! (RECEPT)

Niko mu neće odoleti Većina žena se trudi da vodi računa o liniji i da ne unosi previše slatkiša. Ali, šta kada nas…

Gomboce u saftu: Savršen ručak gotov za čas! (RECEPT)

Savršena ideja za brz i neverovatno ukusan ručak! Sastojci: 500 g mlevenog mesa, so, biber, 1 mala glavica crnog luka,…

Koliko zeleni čaj pomaže pri gubljenju viška kilograma?!

Sadrži kofein i vrstu flavonoida koji se zove katehin, koji je antioksidant Zeleni caj odavno se koristi u…

Američka gimnastičarka priznala da je napastvovana: Gurnuo mi je prste u vaginu

Još jedan seksualni skandal potresa svetski sport. Američka gimnastičarka, Mekejla Maroni, koja inače ima zlatnu…

Lekari prošle godine imali pune ruke posla vadeći bizarne predmete iz vagina

Lekari iz urgentnih centara širom Amerike prošle godine imali su pune ruke posla vadeći poprilično bizarne predmete iz…

Da li znate? U seksu najviše uživaju žene sa ovom bojom kose

Seksualni život crvenokosih žena je aktivniji od žena s drugom bojom kose. One su imale veći broj partnera, češće…

Britanija: Taksa na čaše za jednokratnu upotrebu

LONDON - Britanija bi trebalo da uvede posebnu taksu od 25 penija, popularno nazvanu "latte namet", na čaše za…

Neobična ljubavna priča stiže nam iz Amerike: On je u vezi sa porno zvezdom i ništa mu ne smeta

Jedan Amerikanac je u vezi sa porno zvezdom i ne smeta mu njena profesija. U početku veze je pogledao nekoliko njenih…

Da li žena može da bude POLOŽAJNIK?

Položajnik je prva osoba koja ulazi u kuću na Božić. Obično je to muška osoba, po mogućstvu dete. Prema uvreženom…

Britanska pošta izdaje marke u čast serije "Igra prestola"

Deneris Targarjen, Džon Snou i Arja Stark su među likovima uspešne serije "Igra prestola" (Game of Thrones) u novom…

Ona ima dvostruki život: Danju je mama šestoro dece, a noću kad padne mrak...

Rita iz Amsterdama ima 36 godina, šestoro dece i na prvi pogled običan život jedne prosečne supruge i mame. Preko dana…

DANAS SVI ČITAJU PISMO PREMINULE DEVOJKE I PLAČU: Imam 27 godina i ne želim da umrem! Sve bih dala za još jedan Božić sa porodicom i dečkom!

Nakon teške bitke sa rakom kostiju, Holi Bučer (27) je preminula u četvrtak, a pre toga napisala je pismo koje danas…

Koliko si ih imala do sada?

Zabavljate se više od tri meseca i umirete od želje da saznate odgovor? Niste naivni, znate da i nju užasno kopka to…

Seks u kolima

Zbog čega je seks u automobilu toliko česta pojava meću parovima? Jedan od verovatno glavnih razloga jeste to što je…

Seks protiv sopstvene volje: Zašto muškarci ne mogu da kažu "ne"?

Džesi Ford, doktorand sociologije na Univerzitetu u Njujorku, sprovela je studiju koja je pokazala da mladi muškarci…

Da li znate kako Rusi prave “rusku salatu”?

Ruska varijanta se razlikuje od one koju mi pravimo, ali i jedna i druga su daleko od originalnog recepta. Misje Olivje…

Kako najlakše izbeliti zube

Bilo da ste pušač, često pijete kafu, čaj, crno vino ili jednostavno želite da vaš osmeh bude belji, zube možete…

MISTERIJA KARTE SVETA IZ 16. VEKA: Prikazuje Zemlju iz svemira

Urbano Monte (1544-1613), malo poznati italijanski kartograf, stvorio je 1587. godine neverovatnu ručno crtanu kartu,…

PRATITE NAS

 

KONTAKT

+ 381 65 333 9029

info@ expres .rs

Marketing

ANKETA

Dokle Novak može na Australijan Openu?

TRENUTNA TEMPERATURA

 
Our website is protected by DMC Firewall!